Para la radicacion los procesos y demas se encuentran explicados paso a paso en este enlace web:
http://neetescuela.com/809/
miércoles, 21 de noviembre de 2012
NUMEROS RACIONALES 4
Potenciación con números
racionales
La potencia de exponente natural
de un número entero es
otro número entero,
cuyo valor absoluto es el
valor absoluto de la potencia y
cuyo signo es el que se deduce de la aplicación
de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son
siempre positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen
el mismo signo de la base.
Propiedades
potenciación con números racionales
1. a0 = 1
2. a1 = a
3. Producto de potencias con la misma
base:
Es otra potencia con la
misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
am · a n = am+n
(−2)5 · (−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
4. División de potencias con la misma
base:
Es otra potencia con la misma
base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
am : a n = am — n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 — 2 = (−2)3 = −8
5. Potencia de una potencia:
Es otra potencia con la
misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
6. Producto de potencias con el mismo
exponente:
Es otra potencia con el mismo
exponente y cuya base es el producto de las bases
an · b n = (a · b) n
(−2)3 · (3)3 = (−6)3 = −216
7. Cociente de potencias con el mismo
exponente:
Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de
las bases.
an : b n = (a : b) n
(−6)3 : 33 = (−2)3 = −8
NUMEROS RACIONALES 3
MULTIPLICACION
DE NÚMEROS RACIONALES
El producto de dos números
racionales es otro número racional. Cumple las siguientes propiedades:
Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
Conmutativa:
a · b = b · a
Elemento neutro: el 1 es un
número racional que hace de elemento neutro del producto,
a · 1 = a
Elemento inverso: el inverso de
un número racional a " 0
es otro número racional
que multiplicado por a da 1:
Distributiva respecto a la
suma:
a · (b + c)
= a · b + a · c
DIVISION DE NUMEROS RACIONALES
El cociente de dos números
fraccionarios es igual al producto entre el dividendo y el inverso del divisor.
Ejemplo:
-2/5 : 4/3 = -2/5 * ¾ = -6/20 = -3/10
SIMPLIFICACIÓN
Simplificar una fracción es
sustituirla por la fracción equivalente cuyo denominador es el menor posible.
NUMEROS RACIONALES 2
SUMA y
RESTA DE NÚMEROS RACIONALES
La suma de dos números
racionales es otro número racional. Cumple las siguiente propiedades:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es un
número racional que hace de elemento neutro en la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: el opuesto de
un número racional a, es
otro número racional -a,
a + (-a)
= 0
Sumar y restar fracciones con
igual denominador es muy sencillo. El resultado tendrá por numerador a la suma
o resta de los numeradores y el denominador será el mismo.
Si las fracciones no tienen el
mismo denominador, se sustituyen por fracciones equivalentes con igual
denominador (determinamos un denominador común). Luego se opera de la misma
manera que en el cálculo anterior.
NUMEROS RACIONALES
¿Que son los números racionales?
Los
números racionales, son el conjunto de números fraccionarios y números enteros
representados por medio de fracciones. Este conjunto está situado en la recta
real numérica pero a diferencia de los números reales que son consecutivos, por
ejemplo a 4 le sigue 5 y a este a su vez le sigue el 6, y los números negativos
cuya consecución se da así, a -9 le sigue -8 y a este a su vez le sigue -7; los
números racionales no poseen consecución pues entre cada número racional
existen infinitos números que solo podrían ser escritos durante toda la
eternidad.
Todos los números fraccionarios son números racionales, y sirven
para representar medidas. Pues a veces es más conveniente expresar un número de
esta manera que convertirlo a decimal exacto o periódico, debido a la gran
cantidad de decimales que se podrían obtener.
Para
decir, ¿Qué son números racionales? Podemos empezar por decir que, un número
racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos
números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural
positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe
mediante una fracción.
Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo
los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también
pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un
cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.
Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra
Q, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de
cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números
reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello,
en ocasiones se refieren a los números racionales como números Q.
Un número racional puede ser expresado de diferentes maneras,
sin alterar su cantidad mediante fracciones equivalentes, por ejemplo ½ puede
ser expresado como 2/4 o 4/8, debido a que estas son fracciones reducibles.
Asimismo existe una clasificación de los números racionales dependiendo de su
expresión decimal, estos son:
Los números racionales limitados, cuya representación decimal tiene un
número determinado y fijo de cifras, por ejemplo 1/8 es igual a 0,125.
Los números racionales periódicos, de los cuales sus decimales tienen un
número ilimitado de cifras, pero se diferencian de los números irracionales
porque de esas cifras se puede descubrir un patrón definido mientras que en los
números irracionales sus cifras decimales son infinitas y no-periódicas.
A su vez los números racionales periódicos se dividen en dos,
los periódicos puros, cuyo patrón se encuentra inmediatamente después de la
coma, por ejemplo 0,6363636363… y los periódicos mixtos, de los cuales el
patrón se encuentra después de un número determinado de cifras, por ejemplo
5,48176363636363…
NUMERO ENTEROS 4
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS
Propiedades de la
resta de números enteros
1.Interna:
a − b
10 − (−5)
2. No es Conmutativa:
a - b ≠ b - a
5 − 2 ≠ 2 − 5
Multiplicación de números enteros
La multiplicación de varios números enteros es otro número entero, que
tiene como valor absoluto
el producto de los valores absolutos y,
como signo, el
que se obtiene de la aplicación de la regla
de los signos
2 · 5 = 10
(−2) · (−5) = 10
2 · (−5) = − 10
(−2) · 5 = − 10
Propiedades de la multiplicación de números enteros
1. Interna:
a · b
2 · (−5)
2. Asociativa:
(a · b) · c = a · (b · c)
(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]
6 · (−5) = 2 · (−15)
-30 = -30
3. Conmutativa:
a · b = b · a
2 · (−5) = (−5) · 2
-10 = -10
4. Elemento neutro:
a ·1 = a
(−5)· 1 = (−5)
5. Distributiva:
a · (b + c) = a · b + a · c
(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5
(−2)· 8 =- 6 - 10
-16 = -16
6. Sacar factor común:
a · b + a · c = a · (b + c)
(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)
División de números enteros
La división de dos números enteros es igual al
valor absoluto del cociente de los valores absolutos entre el dividendo y el
divisor, y tiene de signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de
los signos.
10 : 5 = 2
(−10) : (−5) = 2
10 : (−5) = − 2
(−10) : 5 = − 2
Propiedades de la división de números enteros
1. No es una operación interna:
(−2) : 6
2. No es Conmutativo:
a : b ≠ b : a
6 : (−2) ≠ (−2) : 6
Potencia de
números enteros
La potencia
de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo
valor absoluto es el
valor absoluto de la potencia y
cuyo signo es el que se deduce de la aplicación
de las siguientes reglas:
1. Las potencias de exponente par son siempre
positivas.
2. Las potencias de exponente impar tienen el
mismo signo de la base.
Propiedades
a0 = 1 ·
a1 = a
am · a n = am+n
(−2)5 ·(−2)2 = (−2)5+2 = (−2)7 = −128
am : a n = am - n
(−2)5 : (−2)2 = (−2)5 -
2 = (−2)3 = −8
(am)n = am · n
[(−2)3]2 = (−2)6 = 64
an · b n = (a · b) n
(−2)3 ·
(3)3 = (−6) 3 = −216
an :
b n = (a : b) n
(−6)3 : 3 3 = (−2)3 = −8
NUMEROS ENTEROS 3
Potenciacion con números enteros
La poteciacion es la
operacion en la cual se multiplica un numero (o termino algebraico) llamado
"base" por si mismo tantas veces lo indique un numero que esta arriba
de la base llamado "exponente".
Por ejemplo si tenemos el termino 3x al cuadrado (3x)*2, aqui la base es 3x (es todo ya que el exponente 2 afecta tanto a la literal x como al coeficiente, si fuera 3x*2, entonces SI solo afectara a "x" y esa seria la base), por lo que esto seria igual a 3x(3x) = 9x*2.
Como manejaremos solo numeros enteros, un ejemplo seria 3 a la quinta, que seria igual a 3x3x3x3x3= 243 unidades.
Y veamos algunas propiedades basicas de la potencia que son:
a) Producto de potencias de la misma base: es igual a sumar los exponenentes y conservar la misma base. Ejem:
3*2 (3*2) = 3*2+2 = 3*4= 3x3x3x3 = 81.
b) Division de potencias de la misma base: es igual a restar los exponentes y se conserva la misma base:
3*4 / 3*2 = 3*4-2 = 3*2 = 3x3 = 9
c) La potencia de una potencia: es igual a multiplicar los dos exponentes (el de adentro por el de afuera) y elevar la misma base a ese nuevo exponente: Ejemplo:
(3*2)*3 = 3*2(3) = 3*6= 3x3x3x3x3x3 = 729
d) La potencia de un producto: es igual a elevar a la potencia dada cada uno de los factores. Ejemplo:
[5(4)]*2 = 5*2(4*2) = 25(16)= 400
e) La potencia de una division: es igual a elevar tanto al numerador como al denominador por dicha potencia: Ejemplo:
(2/3)*3 = 2*3/3*3 = 4/9
f) La potencia 1 es igual a la misma base, esta se suele omitir (el exponente 1) al ser escrito: 5*1 = 5
g) La potencia 0 es igual a 1: 5*0=1
Eso es lo mas importante de la potenciación con enteros, cabe decir que con expresiones algebraicas (con literales) se hace lo mismo que con los naturales.
Por ejemplo si tenemos el termino 3x al cuadrado (3x)*2, aqui la base es 3x (es todo ya que el exponente 2 afecta tanto a la literal x como al coeficiente, si fuera 3x*2, entonces SI solo afectara a "x" y esa seria la base), por lo que esto seria igual a 3x(3x) = 9x*2.
Como manejaremos solo numeros enteros, un ejemplo seria 3 a la quinta, que seria igual a 3x3x3x3x3= 243 unidades.
Y veamos algunas propiedades basicas de la potencia que son:
a) Producto de potencias de la misma base: es igual a sumar los exponenentes y conservar la misma base. Ejem:
3*2 (3*2) = 3*2+2 = 3*4= 3x3x3x3 = 81.
b) Division de potencias de la misma base: es igual a restar los exponentes y se conserva la misma base:
3*4 / 3*2 = 3*4-2 = 3*2 = 3x3 = 9
c) La potencia de una potencia: es igual a multiplicar los dos exponentes (el de adentro por el de afuera) y elevar la misma base a ese nuevo exponente: Ejemplo:
(3*2)*3 = 3*2(3) = 3*6= 3x3x3x3x3x3 = 729
d) La potencia de un producto: es igual a elevar a la potencia dada cada uno de los factores. Ejemplo:
[5(4)]*2 = 5*2(4*2) = 25(16)= 400
e) La potencia de una division: es igual a elevar tanto al numerador como al denominador por dicha potencia: Ejemplo:
(2/3)*3 = 2*3/3*3 = 4/9
f) La potencia 1 es igual a la misma base, esta se suele omitir (el exponente 1) al ser escrito: 5*1 = 5
g) La potencia 0 es igual a 1: 5*0=1
Eso es lo mas importante de la potenciación con enteros, cabe decir que con expresiones algebraicas (con literales) se hace lo mismo que con los naturales.
Radicación con números enteros
RADICACION: es la operación inversa a la radicación por lo que si un numero "x" se afecta por ambas operaciones con igual número en el índice y el exponente estas se anulan. Consiste en encontar un numero que elevado ala potencia señalada por el indice de como resultado el numero dado.
El Indice en el numero que esta afuera a la izquierda del signo de la raiz, cuando es 2 (raiz cuadrada) no se escribe.
Por ejemplo raiz cuadrada de 25= 5, ya que 5*2 = 25, debido a que el radical es 2, y se convierte en exponente al elevar a la raiz para hacer la comprobacion.
Tambien raiz cubica de 8=2, ya que 2*3=2x2x2=8.
Si sacamos la raiz cuadrada a un numero que no tenga una raiz cuadrada exacta como al 72, tenemos que factorizar a 72, y encontrar un factor que si tenga raiz cuadrad exacta, ejemplo:
Raiz cuadrada de (72)
Si vemos una factorizacion de 72 = 36x2, ya que 36x2=72, y 36 si tiene raiz cuadrada exacta, por lo que sacamos esa raiz y el resultado pasa a multiplicar a lo que quedo adentro, esto es, a la raiz cuadrad de 2, por lo que:
Raiz de 72 = 6(raiz cuadrad de 2).
Esa es une forma de obtener una raiz aproximada de un numero entero que no tenga raiz cuadrad exacta.
Hay propiedades de la radicacion, pero las fundamentales son:
a) La raiz de un producto es igual ala raiz de cada uno de sus factores: Ejemplo: raiz cuadrad de [36(25)] = raiz de 36(raiz de 25)=6(5)=30
b) la raiz de una division es igual a la raiz del numerador entre la del denominador.Ejemplo raiz cuadrada de (36/25) = 6/5
RADICACION: es la operación inversa a la radicación por lo que si un numero "x" se afecta por ambas operaciones con igual número en el índice y el exponente estas se anulan. Consiste en encontar un numero que elevado ala potencia señalada por el indice de como resultado el numero dado.
El Indice en el numero que esta afuera a la izquierda del signo de la raiz, cuando es 2 (raiz cuadrada) no se escribe.
Por ejemplo raiz cuadrada de 25= 5, ya que 5*2 = 25, debido a que el radical es 2, y se convierte en exponente al elevar a la raiz para hacer la comprobacion.
Tambien raiz cubica de 8=2, ya que 2*3=2x2x2=8.
Si sacamos la raiz cuadrada a un numero que no tenga una raiz cuadrada exacta como al 72, tenemos que factorizar a 72, y encontrar un factor que si tenga raiz cuadrad exacta, ejemplo:
Raiz cuadrada de (72)
Si vemos una factorizacion de 72 = 36x2, ya que 36x2=72, y 36 si tiene raiz cuadrada exacta, por lo que sacamos esa raiz y el resultado pasa a multiplicar a lo que quedo adentro, esto es, a la raiz cuadrad de 2, por lo que:
Raiz de 72 = 6(raiz cuadrad de 2).
Esa es une forma de obtener una raiz aproximada de un numero entero que no tenga raiz cuadrad exacta.
Hay propiedades de la radicacion, pero las fundamentales son:
a) La raiz de un producto es igual ala raiz de cada uno de sus factores: Ejemplo: raiz cuadrad de [36(25)] = raiz de 36(raiz de 25)=6(5)=30
b) la raiz de una division es igual a la raiz del numerador entre la del denominador.Ejemplo raiz cuadrada de (36/25) = 6/5
NUMEROS ENTEROS 2
Multiplicación
de números enteros
La multiplicación es como una suma reiterada porque al primer número lo
sumamos consigo mismo, de forma que interviene de sumando tantas veces como
indica el segundo número. La operación inversa es la división. En el caso de
los números enteros hay que considerar algo más: El signo más o menos que los
antecede.
La multiplicación
Al multiplicar dos números enteros del mismo signo el resultado es positivo. Algunos ejemplos:
Al multiplicar dos números enteros del mismo signo el resultado es positivo. Algunos ejemplos:
(+5) · (+6) =
(+30)
(–7 ) · (–3) =
(+21)
En cambio, el producto de dos números de distinto signo es otro número entero de signo negativo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
¿Cómo dijo? Miralo en los siguientes ejemplos:
En cambio, el producto de dos números de distinto signo es otro número entero de signo negativo, cuyo valor absoluto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.
¿Cómo dijo? Miralo en los siguientes ejemplos:
(+5) · (–2) =
(-10)
(-3) · (+6) =
(-18)
Division
de números enteros
Para dividir números enteros tienes que tener en cuenta las misma reglas que en la multiplicación.
¡Atención!
Para dividir números enteros tienes que tener en cuenta las misma reglas que en la multiplicación.
¡Atención!
La división no
es una operación interna en el conjunto de los números enteros. Es decir que al
dividir dos números enteros puede ser que no resulte otro número entero.
lunes, 12 de noviembre de 2012
NUMEROS ENTEROS
¿Que son los Numeros Enteros?
Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:
Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:
• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5;
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5.
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo:
• Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían los sumandos:
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0
• 7 + 11 = 18
• -7 - 11 = -18
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor:
• 7 + (-5) = 7 - 5 = 2
• -7 + 5 = - (7 - 5) = -2
• 14 + (-14) = 0
La suma de números enteros tiene las propiedades siguientes:
Asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo: (a + b) + c = a + (b + c)
Conmutativa:
a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de la suma,
a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a, tiene un opuesto –a,
a + (-a) = 0
a - b = a + (-b)
Por ejemplo:
5 - (-3) = 5 + 3 = 8
-2 - 5 = (-2) + (-5) = -7
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